Question

已知向量

a

=（sinx，cos（π-x）），

b

=（2cosx，2cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

+1．
（Ⅰ）求f(-

π

4

)的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅲ）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值，并求出相應的x的值．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：三角函數(shù)的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）求出

a

•

b

，并根據(jù)兩角差的正弦公式可得到f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)，所以帶入-

π

4

即可求f（-

π

4

）；
（Ⅱ）令2x-

π

4

=t，則得到函數(shù)y=

2

sint，該函數(shù)的單調遞增區(qū)間為t∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，即-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，解該不等式即得函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅲ）由x的范圍求出2x-

π

4

的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象即可求出函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，最小值，以及對應x值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（sinx，-cosx）•（2cosx，2cosx）+1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)；
∴f（-

π

4

）=-

2

sin(

π

2

+

π

4

)=-1；
（Ⅱ）解-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得，-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]，k∈Z；
（Ⅲ）x∈[0，

π

2

]，∴(2x-

π

4

)∈[-

π

4

，

3π

4

]；
∴2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

時，f（x）取最大值

2

；
2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0時，f（x）取最小值-1．

點評：考查數(shù)量積的坐標運算，兩角差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的單調增區(qū)間，以及根據(jù)正弦函數(shù)的圖象求正弦函數(shù)的最大、最小值．