Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心，AA₁=2，CH⊥平面AA₁B₁B，且CH=3．
（1）求A₁C與平面ABC所成角的正弦值；
（2）在線段A₁B₁上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PBC⊥平面ABC？若存在，求出B₁P的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求出A₁C與平面ABC所成角的正弦值；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，則P（λ，0，0），且λ∈[0，2]，求出平面PBC的法向量，利用平面PBC⊥平面ABC，可得方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：如圖，以點(diǎn)B₁為坐標(biāo)在原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則B₁（0，0，0），A₁（2，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），C（1，1，3）
（1）∵

AB

=(-2，0，0)，

AC

=(-1，-1，3)．
設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AB =0 n • AC =0

，即

-2x=0 -x-y+3z=0

，
令z=1，得

n

=(0，3，1)
設(shè)A₁C與平面ABC所成角為θ，則
∵

A1C

=(-1，1，3)，
∴sinθ=|

A1C • n

| A1C |•| n |

|=

3

55

110

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，則P（λ，0，0），且λ∈[0，2]，
∴

PB

=(-λ，2，0)，

BC

=(1，-1，3)．
設(shè)平面PBC的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • PB =0 m • BC =0

，即

-λx+2y=0 x-y+3z=0

，
令x=1，得

m

=(1，

λ

2

，

λ

6

-

1

3

)．
∵平面PBC⊥平面ABC，∴

m

⊥

n

，
即0=

m

•

n

=

3

2

λ+

λ

6

-

1

3

，得λ=

1

5

∈[0，2]，
∴存在這樣的點(diǎn)P(

1

5

，0，0)使得平面PBC⊥平面ABC，且B₁P=

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面角，考查面面垂直，考查空間向量知識(shí)的運(yùn)用，正確求平面的法向量是關(guān)鍵．