Question

(本小題滿分16分)

橢圓:的左、右頂點(diǎn)分別、，橢圓過(guò)點(diǎn)且離心率.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓上異于、兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)作軸，為垂足，延長(zhǎng)到點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作直線軸，連結(jié)并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)記為點(diǎn).

①求點(diǎn)所在曲線的方程；

②試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系， 并證明.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）①②直線與圓相切，證明：AQ的方程為 , ,,,

,∴，∴直線QN與圓O相切

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），所以，又橢圓的離心率得，

即，由得，所以，

故所求橢圓方程為。

（2）①設(shè)，則，設(shè)，∵HP=PQ，∴ 即，將代入得，

所以Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上。

②又A（－2，0），直線AQ的方程為，令，則，

又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，∴，，

∴

，∴，∴直線QN與圓O相切。

考點(diǎn)：橢圓方程，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程及直線與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：最后一問(wèn)判斷直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量簡(jiǎn)化了解題