Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長與底面三角形的各邊長都等于a，D為BC的中點，
（1）求證：A₁B∥平面AC₁D．
（2）若點M為CC₁中點，求證：平面A₁B₁M⊥平面ADC₁

Answer 1

證明：（1）法一：連接A₁C，與AC₁交于點O，連接DO
在△A₁BC中，A₁B∥DO，DO?面AC₁D，A₁B?面AC₁D，∴A₁B∥面AC₁D
法二：取B₁C₁中點N，連接A₁N，BN∵BN∥C₁D，BN?面AC₁D∴BN∥面AC₁D
又∵A₁N∥AD，A₁N?面AC₁D∴BN∥面AC₁D∴面A₁BN∥面AC₁D∴A₁B∥面AC₁D
（2）由題意的B₁M⊥C₁D，由于AD是正三角底邊的高線，由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質(zhì)知道：AD與側(cè)面BB₁C₁C垂直，故有B₁M⊥AD，B₁M⊥面ADC₁∴面A₁B₁M⊥面ADC₁
分析：對于（1），方法一：要證明A₁B∥平面AC₁D，只需證明A₁B與平面AC₁D內(nèi)的一條直線平行即可，故可以連接A₁C，與AC₁交于點O，容易證明OD為三角形A₁BC的中位線，從而得證；
方法二：通過面面平行來轉(zhuǎn)化，取B₁C₁中點N，連接A₁N，可證A₁N∥AD，BN∥C₁D，通過證明面A₁BN∥面AC₁D來實現(xiàn)；
對于（2）要證明平面A₁B₁M⊥平面ADC₁，只需證明平面A₁B₁M內(nèi)存在一條直線與平面ADC₁垂直即可，B₁M即可．
點評：本題考查線面平行的判定、面面垂直的判定，要注意期中的轉(zhuǎn)化思想，即將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行、也可以轉(zhuǎn)化為面面平行來證明，將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直問題解決．