Question

設(shè)f₁（x）=cosx，定義f_n+1（x）為f_n（x）的導(dǎo)數(shù)，即f_n+1（x）=f′_n（x），n∈N^*，若△ABC的內(nèi)角A滿足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=0，則sinA的值是

1

．

Answer 1

分析：由已知，f₁（x）=cosx，f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，f₄（x）=f₃′（x）=sinx，f₅（x）=f₄′（x）=cosx，發(fā)現(xiàn)f_n（x）以4為周期，結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，利用此規(guī)律將2013轉(zhuǎn)化為n=1的情況求解．

解答：解：∵f₁（x）=cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=cosx，
…
從第五項(xiàng)開(kāi)始，f_n（x）的解析式重復(fù)出現(xiàn)，每4次一循環(huán)．
∴f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0
∴f₂₀₁₃（x）=f_4×503+1（x）=f₁（x）=cosx，
∵f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=0
∴cosA=0
∵A為三角形的內(nèi)角
∴sinA=1
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，會(huì)根據(jù)條件歸納總結(jié)得到結(jié)論，并利用得到的結(jié)論解決問(wèn)題．