Question

投擲骰子兩次，第一次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是a，第二次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是b，求方程組

ax+by=3 x+2y=2.

（Ⅰ）有惟一解的概率；
（Ⅱ）x、y都是正數(shù)解的概率．

Answer 1

分析：（I）利用分布計(jì)數(shù)原理求出骰子投擲2次所有的結(jié)果，通過(guò)解二元一次方程組判斷出方程組有唯一解的條件，先求出不滿足條件結(jié)果個(gè)數(shù)，再求出方程組有唯一解的結(jié)果個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率公式求出方程組只有一個(gè)解的概率．
（II）首先列舉出a，b所有的可能結(jié)果，然后求出有正整數(shù)解時(shí)，列舉出所有的可能事件，進(jìn)而求出概率．

解答：解：（Ⅰ）骰子投擲2次所有的結(jié)果有6×6=36
由

ax+by=3 x+2y=2

得（b-2a）y=3-2a
當(dāng)b-2a≠0時(shí)，方程組有唯一解
當(dāng)b=2a時(shí)包含的結(jié)果有：
當(dāng)a=1時(shí)，b=2
當(dāng)a=2時(shí)，b=4
當(dāng)a=3時(shí)，b=6共三個(gè)
所以方程組只有一個(gè)解包含的基本結(jié)果有36-3=33
由古典概型的概率公式得

33

36

=

11

12

故答案為：

11

12

（Ⅱ）解方程組得

x= 6-2b 2a-b y= 2a-3 2a-b

當(dāng)

2a-b＞0 6-2b＞0 2a-3＞0

或

2a-b＜0 6-2b＜0 2a-3＜0

時(shí)x＞0且y＞0       （9分）
即

2a＞b 2a＞3 b＜3

或

2a＜b 2a＜3 b＞3

時(shí)，x＞0且y＞0，則當(dāng)b=1或2時(shí)，a=2，3，4，5，6；
當(dāng)b=4或5或6時(shí)，a=1．
所以P（A）=

13

36

．                                                       （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型，考查解方程組，是一個(gè)綜合題，概率問(wèn)題往往同其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以概率問(wèn)題為載體，主要考查的是另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．