Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+cos2x+a的最大值是1，
（1）求常數(shù)a的值；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)兩角和的正弦公式進行化簡，件即可求常數(shù)a的值；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的解析式解f（x）≥0即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+cos2x+a=

3

2

sin?2x+

1

2

cos?2x+

3

2

sin?2x-

1

2

cos?2x+cos?2x+a
=

3

sin?2x+cos?2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a，
∵函數(shù)f（x）的最大值為1，
∴2+a=1，
∴a=-1；
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1，
∴由f（x）≥0得2sin（2x+

π

6

）-1≥0，
即sin（2x+

π

6

）≥

1

2

，
∴

π

6

+2kπ≤2x+

π

6

≤

5π

6

+2kπ，
即kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，
即x的取值集合{x|kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，}

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及兩角和的三角公式，要求熟練掌握相應的公式，考查學生的計算能力．