Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為為實數(shù)），x∈R．
（1）若函數(shù)f（x）的最小值是f（-1）=0，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，f（x）＞x+k在區(qū)間[-3，-1]上恒成立，試求k的取值范圍；
（3）若a＞0，f（x）為偶函數(shù)，實數(shù)m，n滿足mn＜0，m+n＞0，定義函數(shù)F（x）=，試判斷F（m）+F（n）值的正負，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知a-b+1=0，且-=-1，解得a=1，b=2，
∴函數(shù)f（x）的解析式是f（x）=x²+2x+1；
（2）在（1）的條件下，f（x）＞x+k，即k＜x²+x+1在區(qū)間[-3，-1]上恒成立，
由于函數(shù)y=x²+x+1在區(qū)間[-3，-1]上是減函數(shù)，且其最小值為1，
∴k的取值范圍為（-∞，1）；
（3）∵f（x）是偶函數(shù)，∴b=0，∴f（x）=ax²+1，
由mn＜0知m、n異號，不妨設(shè)m＞0，則n＜0，又由m+n＞0得m＞-n＞0，
F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-（an²+1）=a（m²-n²），
由m＞-n＞0得m²＞n²，又a＞0，得F（m）+F（n）＞0，
∴F（m）+F（n）的值為正．
分析：（1）由已知a-b+1=0，且-=-1，解二者聯(lián)立的方程求出a，b的值即可得到函數(shù)的解析式．
（2）將f（x）＞x+k，在區(qū)間[-3，-1]上恒成立，轉(zhuǎn)化成k＜x²+x+1在區(qū)間[-3，-1]上恒成立，問題變?yōu)榍髕²+x+1在區(qū)間
[-3，-1]上的最小值問題，求出其最小值，令k 小于其最小值即可解出所求的范圍．
（3）f（x）是偶函數(shù)，可得b=0，求得f（x）=ax²+1，由mn＜0，m+n＞0，可得m、n異號，設(shè)m＞0，則n＜0，故可得
m＞-n＞0，代入F（m）+F（n），化簡成關(guān)于m，n的代數(shù)式，由上述條件判斷其符號即可．
點評：本題考查了求解析式，恒成立問題求參數(shù)的范圍以及利用函數(shù)的性質(zhì)判斷式的符號，覆蓋全面，技巧性強，主要訓(xùn)練答題者的轉(zhuǎn)化計算能力．