Question

9．如圖ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．求證：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．
（3）若PO=1，AB=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）連接OE，OE∥PA，由直線與平面平行的判定定理，可證得PA∥平面BDE；
（2）由PO⊥底面ABCD，可得PO⊥BD；底面為正方形，可得BD⊥AC，由直線和平面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理，可證得平面PAC⊥平面BDE；
（3）利用V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_ABCD×OP，求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （1）證明：連接AC、OE，AC∩BD=O，
在△PAC中，∵E為PC中點，O為AC中點，∴PA∥EO，
又∵EO?平面EBD，PA?平面EBD，∴PA∥面BDE． …3分
（2）證明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD．        
又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC．        
又BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．…7分
（3）解：∵ABCD是正方形的中心，∴S_ABCD=AB²=4
∵PO⊥底面ABCD
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_ABCD×OP=$\frac{4}{3}$…11分

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定定理、直線和平面垂直的性質(zhì)、直線和平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的判定定理，考查四棱錐P-ABCD的體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．