通過(guò)研究函數(shù)f(x)=2x4-10x2+2x-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),進(jìn)一步研究可得g(x)=2xn+10x2-2x-1(n≥3,n∈N)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為   
【答案】分析:對(duì)函數(shù)f(x)=2x4-10x2+2x-1進(jìn)行求導(dǎo),求得函數(shù)的極值,單調(diào)性,判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù),對(duì)于函數(shù)g(x)=2xn+10x2-2x-1(n≥3,n∈N)用同樣的方法可得,注意計(jì)算時(shí)整體代換.
解答:解:∵函數(shù)f(x)=2x4-10x2+2x-1,
∴f′(x)=8x3-20x+2=2(4x3-10x+1)
在f′(x)=0時(shí),
f(x)=2x4-10x2+2x-1,
=2x4-5x2+x-5x2+x-1,
=(4x3-10x+1)-5x2+x-1=-5x2+x-1,
由于判別式△<0,所以,f(x)的所有極值均是負(fù)數(shù).
又因?yàn)楫?dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮和正無(wú)窮時(shí)均為無(wú)窮大,
所以,零點(diǎn)有兩個(gè).
對(duì)任意g(x)=2xn+10x2-2x-1(n≥3,n∈N)
也有,g'(x)=0時(shí)有,
g(x)=(-10)x2+(2-)x-1
可知n>3時(shí),其判別式△<0
所以,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn)
n為奇數(shù)時(shí),有3個(gè)零點(diǎn),
故答案為
點(diǎn)評(píng):此題是個(gè)中檔題.考查函數(shù)零點(diǎn)判定定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等問(wèn)題,同時(shí)考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.
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