Question

17．已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，b=2asinB，且b＞a．
（1）求A；
（2）若$a=2，c=2\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡已知的等式，根據(jù)B為三角形的內角，得到sinB不為0，在等式兩邊同時除以sinB，得到sinA的值，然后再由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到A的度數(shù)．
（2）由正弦定理可求得sinC的值，由C∈（0，180°），可得C，從而可求B，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）解：根據(jù)正弦定理化簡b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，
∵sinB≠0，在等式兩邊同時除以sinB得sinA=$\frac{1}{2}$，
又A為三角形的內角，
則A=30°或150°．
∵b＞a，A為銳角，
∴A=30°．
（2）∵由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由C∈（0，180°），可得：C=60°或120°，
∴B=180°-A-C=90°或30°（b＞a，故舍去），即sinB=1．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×1$=2$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵，同時在求值時注意三角形內角的范圍．