Question

15．已知f（x）=min{2$\sqrt{x}$，|x-2|}，其中min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{aa≤b}\\{ba＞b}\end{array}\right.$，若動直線y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象有三個不同的交點，它們的橫坐標分別為x₁，x₂，x₃．
（1）m的取值范圍是$（{0，2\sqrt{3}-2}）$；
（2）當x₁x₂x₃取最大值時，m=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由f（x）表達式作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象可求得符合條件的m的取值范圍，不妨設0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，通過解方程可用m將x₁，x₂，x₃分別表示出來，利用基本不等式即可求得x₁•x₂•x₃取最大值時m的值．

解答 解：（1）由函數(shù)y=f（x）的圖象可知m的最大值為A點縱坐標，
解方程：2$\sqrt{x}$=2-x，即4x=4-4x+x²，解得x=4-2$\sqrt{3}$，
∴|4-2$\sqrt{3}$-2|=2$\sqrt{3}$-2，
∴m的取值范圍是：$（{0，2\sqrt{3}-2}）$；
（2）不妨設0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
則由2$\sqrt{{x}_{1}}$=m得x₁=$\frac{{m}^{2}}{4}$，
由|x₂-2|=2-x₂=m，得x₂=2-m，且2-m＞0，
由|x₃-2|=x₃-2=m，得x₃=m+2，且m+2＞0，
∴x₁•x₂•x₃=$\frac{{m}^{2}}{4}$•（2-m）•（2+m）
=$\frac{1}{4}$•m²•（4-m²）
≤$\frac{1}{4}$•$[\frac{{m}^{2}+4-{m}^{2}}{2}]^{2}$
=$\frac{1}{4}•4=1$，
當且僅當m²=4-m²．即m=$\sqrt{2}$時取得等號，
∴x₁•x₂•x₃取最大值時，m=$\sqrt{2}$；
故答案為：$（{0，2\sqrt{3}-2}）$，$\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合運用，考查基本不等式在求函數(shù)最值中的應用，考查數(shù)形結合思想，考查學生綜合運用知識分析解決新問題的能力，注意解題方法的積累，屬于難題．