【題目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為正三角形,E,F(xiàn)分別是A1C1 , B1C1上的點(diǎn),且滿足A1E=EC1 , B1F=3FC1 .
(1)求證:平面AEF⊥平面BB1C1C;
(2)設(shè)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱長(zhǎng)均相等,求二面角C1﹣AE﹣B的余弦值.
【答案】
(1)證明:取B1C1的中點(diǎn)G,連結(jié)A1G,
∵B1F=3FC1,F(xiàn)G=FC1,∴EF∥A1G,
在等邊△A1B1C1中,由G是B1C1的中點(diǎn),知A1G⊥B1C1,
∴EF⊥B1C1,
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱,∴BB1⊥平面A1B1C1,
又∵EF平面A1B1C1,∴BB1⊥EF,
∵BB1∩B1C1=B1,∴EF⊥平面BB1C1C,
又EF平面AEF,∴平面AEF⊥平面BB1C1C
(2)解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AA1,AC分別為y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱均為2,則A(0,0,0),B( ),E(0,1,2),
∴ =(0,1,2), =( ),
設(shè) =(x,y,z)是平面ABE的一個(gè)法向量,
由 ,取x=﹣2,得 =(﹣2,2 ,﹣ ),
平面AEC1的一個(gè)法向量 =(1,0,0),
設(shè)二面角C1﹣AE﹣B的平面角為θ,
則cosθ= = .
∴二面角C1﹣AE﹣B的余弦值為 .
【解析】(1)取B1C1的中點(diǎn)G,連結(jié)A1G,推導(dǎo)出EF∥A1G,A1G⊥B1C1 , 從而EF⊥B1C1 , 由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱,得到BB1⊥EF,從而EF⊥平面BB1C1C,由此能證明平面AEF⊥平面BB1C1C.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AA1 , AC分別為y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角C1﹣AE﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓M過(guò)C(1,-1),D(-1,1)兩點(diǎn),且圓心M在x+y-2=0上.
(1)求圓M的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓M的兩條切線,A,B為切點(diǎn),求四邊形PAMB面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,點(diǎn)E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點(diǎn).求異面直線A1E與GF所成角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在考試測(cè)評(píng)中,常用難度曲線圖來(lái)檢測(cè)題目的質(zhì)量,一般來(lái)說(shuō),全卷得分高的學(xué)生,在某道題目上的答對(duì)率也應(yīng)較高,如果是某次數(shù)學(xué)測(cè)試壓軸題的第1、2問(wèn)得分難度曲線圖,第1、2問(wèn)滿分均為6分,圖中橫坐標(biāo)為分?jǐn)?shù)段,縱坐標(biāo)為該分?jǐn)?shù)段的全體考生在第1、2問(wèn)的平均難度,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.此題沒(méi)有考生得12分
B.此題第1問(wèn)比第2問(wèn)更能區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的好與壞
C.分?jǐn)?shù)在[40,50)的考生此大題的平均得分大約為4.8分
D.全體考生第1問(wèn)的得分標(biāo)準(zhǔn)差小于第2問(wèn)的得分標(biāo)準(zhǔn)差
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+m與函數(shù) 的圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.
B. ??
C.
D.[2﹣ln2,2]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xe2x﹣lnx﹣ax.
(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)在[ ,1]上的最小值;
(2)若x>0,不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍;
(3)若x>0,不等式f( )﹣1≥ e + 恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l1:x-2y+3=0與直線l2:2x+3y-8=0的交點(diǎn)為M,
(1)求過(guò)點(diǎn)M且到點(diǎn)P(0,4)的距離為2的直線l的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)M且與直線l3:x+3y+1=0平行的直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】柴靜《穹頂之下》的播出,讓大家對(duì)霧霾天氣的危害有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí),對(duì)于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來(lái),某研究機(jī)構(gòu)對(duì)春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得出下表數(shù)據(jù):
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)燃放煙花爆竹的天數(shù)為的霧霾天數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知, , .
(1)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,“”為真命題,“”為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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