Question

（本題滿(mǎn)分20分，其中第1小題4分，第2小題6分，第3小題10分）

已知是直線上的個(gè)不同的點(diǎn)（，、均為非零常數(shù)），其中數(shù)列為等差數(shù)列.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求證: ；

（3） 設(shè)，且當(dāng)時(shí)，恒有（和都是不大于的正整數(shù), 且）.試探索：在直線上是否存在這樣的點(diǎn)，使得成立？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

Answer 1

（本題滿(mǎn)分20分，其中第1小題4分，第2小題6分，第3小題10分）

解：（1）證：設(shè)等差數(shù)列的公差為,

因?yàn)?img width=338 height=27 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/0688/496/361496.gif" >，

所以為定值，即數(shù)列也成等差數(shù)列.

（2）證：因?yàn)辄c(diǎn)、和都是直線上一點(diǎn)，故有()

于是，

                 

令，，則有.

（3）（文科）假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足要求,

則有，

又當(dāng)時(shí)，恒有，則又有

，

所以

又因?yàn)閿?shù)列成等差數(shù)列，

于是，

所以，

故，同理，且點(diǎn)在直線上（是、的中點(diǎn)），即存在點(diǎn)滿(mǎn)足要求.

（3）（理科）

提出命題：（在本題大前提下）若點(diǎn)滿(mǎn)足，則系數(shù)數(shù)列的和是點(diǎn)在直線上的充要條件.

證明：設(shè)，由條件，

    先證充分性：“當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在直線上”.

因?yàn)?img width=218 height=27 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/0688/12/361512.gif" >，

故

而（），所以

 

 

當(dāng)時(shí)，即有，即點(diǎn)在直線上.

再證必要性：“若點(diǎn)在直線上，則.”

因?yàn)?img width=218 height=27 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/0688/12/361512.gif" >，

故

而因?yàn)?img width=77 height=25 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/0688/39/361539.gif" >（），所以

 

 

    又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以滿(mǎn)足，故.

補(bǔ)充：由以上證明進(jìn)一步可知，對(duì)于直線上任一點(diǎn)，若滿(mǎn)足，則都有.