Question

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、G分別是AB、DF的中點．
（1）求證：CM⊥平面FDM；
（2）在線段AD上（含A、D端點）確定一點P，使得GP∥平面FMC，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為直線FD⊥平面ABCD，CM?平面ABCD所以FD⊥CM．在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，M為AB的中點，DM=CM=a所以CM⊥DM．進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理可得線面垂直．
（Ⅱ）點P在A點處．取DC中點S，連接AS、GS、GA．因為G是DF的中點，GS∥FC，AS∥CM所以面GSA∥面FMC，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得GP∥平面FMC
解答：解：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC
（Ⅰ）∵直線FD⊥平面ABCD，CM?平面ABCD
∴FD⊥CM
在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，M為AB的中點，DM=CM=a
∴CM⊥DM
又因為DM∩FD=D，F(xiàn)D?平面FDM，DM?平面FDM
∴CM⊥平面FDM
（Ⅱ）點P在A點處．
證明：取DC中點S，連接AS、GS、GA
∵G是DF的中點，GS∥FC，AS∥CM
∴面GSA∥面FMC，而GA?面GSA，
∴GP∥平面FMC
點評：解決線面垂直的方法是在平面內(nèi)找到兩條相交直線與已知直線垂直即可，解決探索性問題最有效的方法是找特殊點如端點與線段的中點處，也可以利用空間向量解決此類問題．