Question

已知f（θ）=1-2sinθ，g（θ）=3-4cos²θ．記F（θ）=a•f（θ）+b•g（θ）（其中a，b都為常數(shù)，且b＞0）．
（1）若a=4，b=1，求F（θ）的最大值及此時(shí)的θ值；
（2）若θ∈[0，

π

2

]，求F（θ）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）a=4，b=1時(shí)，由F（θ）=4（sinθ-1）²-1可求得F（θ）的最大值及此時(shí)的θ值；
（2）依題意知，F(xiàn)（θ）═4b(sinθ-

a

4b

)2+a-b-

a2

4b

，令sinθ=x∈[0，1]，對(duì)對(duì)稱軸x=

a

4b

分

a

4b

≥1，

a

4b

≤0，

a

4b

∈（0，1）三類討論，即可求得F（θ）_min．

解答： 解：（1）若a=4，b=1時(shí)，F(xiàn)（θ）=4（1-2sinθ）+3-4cos²θ=4（sinθ-1）²-1，
則F（θ）_max=15，此時(shí)的θ=2kπ-

π

2

（k∈Z）；
（2）∵F（θ）=a•f（θ）+b•g（θ）
=a（1-2sinθ）+b（3-4cos²θ）
=-2asinθ+a+3b-4b（1-sin²θ）
=4bsin²θ-2asinθ+a-b
=4b(sinθ-

a

4b

)2+a-b-

a2

4b

，
令sinθ=x∈[0，1]，記G（x）=4b(x-

a

4b

)2+a-b-

a2

4b

（0≤x≤1），
  則其對(duì)稱軸x=

a

4b

，b＞0，
當(dāng)

a

4b

≥1，x=1，即sinθ=1時(shí)，F(xiàn)（θ）值最小，F(xiàn)（θ）_min=7b-a；
當(dāng)

a

4b

≤0，x=0，即sinθ=0時(shí)，F(xiàn)（θ）值最小，F(xiàn)（θ）_min=a+3b；
當(dāng)

a

4b

∈（0，1）時(shí)，x=sinθ=

a

4b

時(shí)，F(xiàn)（θ）值最小，F(xiàn)（θ）_min=a-b-

a2

4b

；
綜上，當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時(shí)，F(xiàn)（θ）_min=

7b-a， a 4b ≥1 a-b- a2 4b ，0＜ a 4b ＜1 a+3b， a 4b≤0

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．