Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱(chēng)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得在此橢圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱(chēng)．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），因?yàn)樵诖藱E圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱(chēng)，所以k_AB=

y2-y1

x2-x1

=-

1

4

，再用點(diǎn)差法進(jìn)行求解．

解答： 解：存在實(shí)數(shù)m，使得在此橢圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱(chēng)．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），
∵在此橢圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱(chēng)，
∴K_AB=

y2-y1

x2-x1

=-

1

4

，
∵3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，
相減得3（x₂²-x₁²）+4（y₂²-y₁²）=0，即y₁+y₂=3（x₁+x₂），
∴y₀=3x₀，3x₀=4x₀+m，x₀=-m，y₀=-3m
而M（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)部，則

m2

4

+

9m2

3

＜1，即-

2 13

13

＜m＜

2 13

13

．
故存在實(shí)數(shù)m∈（-

2 13

13

，

2 13

13

），使得在此橢圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱(chēng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高．解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．