Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，an+an-1=(

1

2

)n（n∈N^*，n≥2），令Tn=a1•2+a2•22+…+an•2n，類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得3Tn-an•2n+1=

2n

．

Answer 1

分析：先對(duì)T_n=a₁•2+a₂•2²+…+a_n•2ⁿ 兩邊同乘以2，再相加，求出其和的表達(dá)式，整理即可求出3T_n-a_n•2ⁿ⁺¹的表達(dá)式．

解答：解：由T_n=a₁•2+a₂•2²+…+a_n•2ⁿ ①
得2•T_n=a₁•2²+a₂•2³+…+a_n•2ⁿ⁺¹ ②
①+②得：3T_n=2a₁+2²（a₁+a₂）+2³•（a₂+a₃）+…+2ⁿ•（a_n-1+a_n）+a_n•2ⁿ⁺¹ 
=2a₁+2²×

1

2

+23•(

1

2

)2+…+2n•(

1

2

)n+1+a_n•2ⁿ⁺¹
=2+2+2+…+2+2ⁿ⁺¹•a_n
=2n+2ⁿ⁺¹•a_n．
所以3T_n-a_n•2ⁿ⁺¹=2n．
故答案為：2n．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的求和，以及類比推理，是一道比較新穎的好題目，關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法的理解和掌握，屬于基礎(chǔ)題．