Question

8．已知函數y=Asin（ωx+ϕ）其中$A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}$，若函數的最小正周期為π，最大值為2，且過（0，1）點，
（1）求函數的解析式；
（2）求函數的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據函數的周期，最值過定點，求出A，ω和φ的值即可，
（2）結合三角函數的單調性進行求解即可．

解答 解：（1）∵函數的最小正周期為π，最大值為2，
∴A=2，T=$\frac{2π}{ω}=π$，即ω=2，
則函數y=2sin（2x+φ），
∵函數過（0，1）點，
∴2sinφ=1，即sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
則$y=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即函數的單調遞減區(qū)間為為$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]（k∈Z）$．

點評 本題主要考查三角函數解析式的求解，結合條件求出A，ω和φ的值是解決本題的關鍵．