Question

如圖，某自來(lái)水公司要在公路兩側(cè)排水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線排l₁，在路南側(cè)沿直線排l₂，現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l₁與l₂接通．已知AB=60m，BC=60

3

m，公路兩側(cè)排管費(fèi)用為每米1萬(wàn)元，穿過(guò)公路的EF部分的排管費(fèi)用為每米2萬(wàn)元，設(shè)EF與AB所成角為α．矩形區(qū)域內(nèi)的排管費(fèi)用為W．
（1）求W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求W的最小值及相應(yīng)的角α．

Answer 1

分析：（1）過(guò)E作EM⊥BC得到角α，解直角三角形把MF用含α的代數(shù)式表示，把AE，F(xiàn)C也用含α的代數(shù)式表示，然后即可得到W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的方法可求出矩形區(qū)域ABCD內(nèi)的排管費(fèi)用為W的最小值．

解答：解：（1）如圖，
過(guò)E作EM⊥BC，垂足為M，由題意得∠MEF=α(0≤α≤

π

3

)，
故有MF=60tanα，EF=

60

cosα

，AE+FC=60

3

-60tanα，
所以W=(60

3

-60tanα)×1+

60

cosα

×2=60

3

-60×

sinα-2

cosα

．
（2）設(shè)f(α)=

sinα-2

cosα

，(0≤α≤

π

3

)
則f′(α)=

cosαcosα-(-sinα)(sinα-2)

cos2α

=

1-2sinα

cos2α

．
令f'（α）=0得1-2sinα=0，即sinα=

1

2

，得α=

π

6

．
列表

α	(0， π 6 )	π 6	( π 6 ， π 3 )
f'（α）	+	0	-
f（α）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

所以當(dāng)α=

π

6

時(shí)有f(α)max=-

3

，此時(shí)有．Wmin=120

3

答：排管的最小費(fèi)用為120

3

萬(wàn)元，相應(yīng)的角α=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)模型，考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值，對(duì)于實(shí)際問(wèn)題要注意的是需要注明具有實(shí)際意義的函數(shù)定義域，正確的建模是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．