Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，公比為q，若

S3

S5-S2

=

1

4

，且10是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若b_n=2log₂a_n，求{（-1）ⁿb_n²}的前2n項(xiàng)的和T_2n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意列出方程求得q及a₁，即得結(jié)論；
（2）令c_n=（-1）ⁿb_n²=4•（-1）ⁿn²，利用{c_n-1+c_n}成等差數(shù)列求得即可．

解答： 解：（1）∵

S3

S5-S2

=

1

4

，∴

4a1(1-q3)

1-q

=

a1(1-q5)

1-q

-

a1(1-q2)

1-q

，
解得q²=4，即q=2，
又10是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
∴a₁q+a1q3=20，即2a₁+8a₁=20，∴a₁=2，
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（2）b_n=2log₂a_n=2n，
令c_n=（-1）ⁿb_n²=4•（-1）ⁿn²，
∴T_2n=c₁+c₂+…+c_n=4[（-1²+2²）+（-3²+4²）+…+（-（2n-1）²+（2n）²）]
=4[3+7+11+（4n-1）]=4•

n(3+4n-1)

2

=4n（2n+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義及性質(zhì)、數(shù)列和的求法等知識(shí)，考查方程思想的運(yùn)用及運(yùn)算求解能力，屬難題．