Question

（2013•泉州模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)角線AC₁上任取一點(diǎn)P，以A為球心，AP為半徑作一個(gè)球．設(shè)AP=x，記該球面與正方體表面的交線的長(zhǎng)度和為f（x），則函數(shù)f（x）的圖象最有可能的是（　�。�

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：球面與正方體的表面都相交，我們考慮三個(gè)特殊情形：①當(dāng)x=1；②當(dāng)x=

1

2

；③當(dāng)x=

2

．其中①③兩種情形所得弧長(zhǎng)相等且為函數(shù)f（x）的最大值，根據(jù)圖形的相似，②中弧長(zhǎng)為①中弧長(zhǎng)的一半．對(duì)照選項(xiàng)，即可得出答案．

解答：解：如圖，球面與正方體的表面都相交，
根據(jù)選項(xiàng)的特點(diǎn)，我們考慮三個(gè)特殊情形：①當(dāng)x=1；②當(dāng)x=

1

2

；③當(dāng)x=

2

．
①當(dāng)x=1時(shí)，以A為球心，1為半徑作一個(gè)球，該球面與正方體表面的交線分別是圖中的紅色的弧線，其弧長(zhǎng)為：3×

1

4

×2π×1=

3π

2

，且為函數(shù)f（x）的最大值；
②當(dāng)x=

1

2

時(shí)，以A為球心，

1

2

為半徑作一個(gè)球，該球面與正方體表面的交線分別是圖中的蘭色的弧線，根據(jù)圖形的相似，其弧長(zhǎng)為①中弧長(zhǎng)的一半；
③當(dāng)x=

2

．以A為球心，

2

為半徑作一個(gè)球，該球面與正方體表面的交線分別是圖中的粉紅色的弧線，其弧長(zhǎng)為：3×

1

4

×2π×1=

3π

2

，且為函數(shù)f（x）的最大值；
對(duì)照選項(xiàng)，B正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、函數(shù)的圖象等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．