Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x-2cos²x-1，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c=

3

，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)f（x）的最小正周期，利用正弦函數(shù)的值域確定出f（x）最小值即可；
（Ⅱ）由f（C）=0及第一問化簡(jiǎn)得到的解析式，求出C的度數(shù)，利用正弦定理化簡(jiǎn)sinB=2sinA，得到b=2a，利用余弦定理列出關(guān)系式，把c，b=2a，cosC的值代入即可求出a與b的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sin2x-（cos2x+1）-1=

3

sin2x-cos2x-2=2sin（2x-

π

6

）-2，
∵ω=2，-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴f（x）的最小正周期T=π；最小值為-4；
（Ⅱ）∵f（C）=2sin（2C-

π

6

）-2=0，
∴sin（2C-

π

6

）=1，
∵C∈（0，π），∴2C-

π

6

∈（-

π

6

，

11π

6

），
∴2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
將sinB=2sinA，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：b=2a，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+4a²-2a²=3a²，
把c=

3

代入得：a=1，b=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．