Question

若a＞1，設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+x-4的零點為m，g（x）=log_ax+x-4的零點為n，則

1

m

+

1

n

的取值范圍（　　）

• A、(

  7

  2

  ，+∞)
• B、（1，+∞）
• C、（4，+∞）
• D、(

  9

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，得到兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系求出m，n之間的關(guān)系個，根據(jù)兩者之和是定值，利用基本不等式得到要求的結(jié)果．

解答：解：函數(shù)f（x）=a^x+x-4的零點是函數(shù)y=a^x與函數(shù)y=4-x圖象交點A的橫坐標(biāo)，
函數(shù)g（x）=log_ax+x-4的零點是函數(shù)y=log_ax與函數(shù)y=4-x圖象交點B的橫坐標(biāo)，
由于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，
其圖象關(guān)于直線y=x對稱，
直線y=4-x與直線y=x垂直，
故直線y=4-x與直線y=x的交點（2，2）即是A，B的中點，
∴m+n=4，
∴

1

m

+

1

n

=

1

4

(m+n)(

1

m

+

1

n

)=

1

4

(2+

m

n

+

n

m

)≥1，
當(dāng)m=n=2等號成立，
而m+n=4，
故

1

m

+

1

n

＞1，
故所求的取值范圍是（1，+∞）．
故選B．

點評：本題綜合函數(shù)零點、考查反函數(shù)的性質(zhì)，考查利用基本不等式求最值．考查根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性找到兩個函數(shù)零點的關(guān)系．是一道在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題的優(yōu)秀試題．