Question

2．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點（m，0）（m＞$\sqrt{6}$）且斜率為-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$的直線l交橢圓于C，D兩點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，如果|CD|²=4|FC|•|FD|，求∠CFD的大�。�

Answer 1

分析 （1）由離心率可得a，b的關(guān)系，再由連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為$4\sqrt{3}$，得到a，b的另一關(guān)系，聯(lián)立求出a，b得答案；
（2）由題意得直線l的方程為$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-m）（m＞\sqrt{6}）$，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由△＞0求出m的范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出C，D兩點橫坐標(biāo)的和與積，進(jìn)一步把|CD||FC|用含有m的代數(shù)式表示，結(jié)合|CD|²=4|FC|•|FD|求得m=3，可得$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}=（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）+{y}_{1}{y}_{2}$=$\frac{4}{3}{x}_{1}{x}_{2}-\frac{m+6}{3}（{x}_{1}{+x}_{2}）+\frac{{m}^{2}}{3}+4$=$\frac{2（{m}^{2}-3m）}{3}=0$．
則∠CFD的大小可求．

解答 解：如圖，
（1）∵$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}b$，
又連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為$4\sqrt{3}$，
∴$2ab=4\sqrt{3}$，即$ab=2\sqrt{3}$，
∴a²=6，b²=2，因此橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）由題意得直線l的方程為$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-m）（m＞\sqrt{6}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-m）}\end{array}\right.$，得2x²-2mx+m²-6=0．
由△=4m²-8（m²-6）＞0，解得$-2\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$．
又m$＞\sqrt{6}$，∴$\sqrt{6}＜m＜2\sqrt{3}$，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=m，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-6}{2}$，
∴|CD|=$\sqrt{1+（-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}•\sqrt{12-{m}^{2}}$．
又∵|FC|=$\sqrt{（{x}_{1}-2）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}=\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}-4{x}_{1}+4）+\frac{6-{{x}_{1}}^{2}}{3}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}（3-{x}_{1}）$．
|FD|=$\sqrt{（{x}_{2}-2）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}=\sqrt{（{{x}_{2}}^{2}-4{x}_{2}+4）+\frac{6-{{x}_{2}}^{2}}{3}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}（3-{x}_{2}）$．
|FC||FD|=$\frac{2}{3}（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）=\frac{2}{3}[{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9]$=$\frac{1}{3}（{m}^{2}-6m+12）$．
由|CD|²=4|FC|•|FD|，得$\frac{4}{3}（12-m）^{2}=\frac{4}{3}（{m}^{2}-6m+12）$，解得m=0或m=3．
又$\sqrt{6}＜m＜2\sqrt{3}$，∴m=3，
又∵$\overrightarrow{FC}=（{x}_{1}-2，{y}_{1}），\overrightarrow{FD}=（{x}_{2}-2，{y}_{2}）$，
且${y}_{1}{y}_{2}=[-\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{1}-m）]•[-\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{2}-m）]$=$\frac{1}{3}{x}_{1}{x}_{2}-\frac{m}{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{{m}^{2}}{3}$．
∴$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}=（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）+{y}_{1}{y}_{2}$=$\frac{4}{3}{x}_{1}{x}_{2}-\frac{m+6}{3}（{x}_{1}{+x}_{2}）+\frac{{m}^{2}}{3}+4$=$\frac{2（{m}^{2}-3m）}{3}=0$．
∴∠CFD=90°．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是壓軸題．