Question

5．已知x為實數(shù)，用表示不超過x的最大整數(shù)，例如[1，2]=1，[-1.2]=-2，[1]=1，對于函數(shù)f（x），若存在m∈R且m∉Z，使得f（m）=f（[m]），則稱函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=x²-$\frac{1}{3}$x，g（x）=sinπx是否是Ω函數(shù)；（只需寫出結(jié)論）
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）是定義R在上的周期函數(shù)，其最小正周期為T，若f（x）不是Ω函數(shù)，求T的最小值． 
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$是Ω函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)Ω函數(shù)的定義直接判斷函數(shù)f（x）=x²-$\frac{1}{3}$x，g（x）=sinπx是否是Ω函數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)周期函數(shù)的定義，結(jié)合Ω函數(shù)的條件，進行判斷和證明即可．
（Ⅲ）根據(jù)Ω函數(shù)的定義，分別討論a=0，a＜0和a＞0時，滿足的條件即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²-$\frac{1}{3}$x是Ω函數(shù)，g（x）=sinπx不是Ω函數(shù)；------------------（4分）
（Ⅱ）T的最小值為1．--------------------------（11分）
因為f（x）是以T為最小正周期的周期函數(shù)，所以f（T）=f（0）．
假設(shè)T＜1，則[T]=0，所以f（[T]）=f（0），矛盾．--------------------------（6）
所以必有T≥1，
而函數(shù)l（x）=x-[x]的周期為1，且顯然不是Ω函數(shù)，
綜上，T的最小值為1．--------------------------（9分）
（Ⅲ） 當函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$是Ω函數(shù)時，
若a=0，則f（x）=x顯然不是Ω函數(shù)，矛盾．------（10分）
若a＜0，則f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，
所以f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增，
此時不存在m＜0，使得 f（m）=f（[m]），
同理不存在m＞0，使得 f（m）=f（[m]），
又注意到m[m]≥0，即不會出現(xiàn)[m]＜0＜m的情形，
所以此時f（x）=x+$\frac{a}{x}$不是Ω函數(shù)．---------（11分）
當a＞0時，設(shè)f（m）=f（[m]），所以m+$\frac{a}{m}$=[m]+[$\frac{a}{m}$]，所以有a=m[m]，其中[m]≠0，
當m＞0時，
因為[m]＜m＜[m]+1，所以[m]²＜m[m]＜（[m]+1）[m]，
所以[m]²＜a＜（[m]+1）[m]，--------（12分）
當m＜0時，[m]＜0，
因為[m]＜m＜[m]+1，所以[m]²＞m[m]＞（[m]+1）[m]，
所以[m]²＞a＞（[m]+1）[m]，--------（13分）
記k=[m]，綜上，我們可以得到
“a＞0且?x∈N^•，a≠k²且a≠k（k+1）．------（14分）

點評 本題主要考查與周期函數(shù)有關(guān)的新定義試題，考查學生的運算和推理能力，綜合性較強，有一定的難度．