Question

已知函數(shù)f（x）=3^x，f（a+2）=18，g（x）=λf（ax）-f（2ax）．
（1）若函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍；
（2）對任意x∈[0，1]，g（x）≤2恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由條件f（a+2）=18建立關(guān)于a的等量關(guān)系，求出a，將a代入得g（x）=λ•2^x-4^x，g（x）在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，可利用函數(shù)單調(diào)性的定義建立恒等關(guān)系，分離出λ，求出2^x₂+2^x₁的最值即可；
（2）運用參數(shù)分離，任意x∈[0，1]，g（x）≤2恒成立即為即有λ≤

2+4x

2x

在x∈[0，1]恒成立．令t=

2+4x

2x

=2^x+

2

2x

（0≤x≤1），運用基本不等式求出最小值，注意檢驗等號成立的條件，只要令λ不大于最小值即可．

解答： 解：（1）由已知得3^a+2=18⇒3^a=2⇒a=log₃2，
此時g（x）=λ•2^x-4^x
設(shè)0≤x₁＜x₂≤1，因為g（x）在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)減函數(shù)，
所以g（x₁）-g（x₂）=（2^x₂-2^x₁）（-λ+2^x₂+2^x₁）≥0成立，
∵2^x₂-2^x₁＞0
∴λ≤2^x₂+2^x₁恒成立，由于2^x₂+2^x₁≥2⁰+2⁰=2，
所以實數(shù)λ的取值范圍是λ≤2；
（2）任意x∈[0，1]，g（x）≤2恒成立即為
λ•2^x-4^x≤2在x∈[0，1]恒成立，
即有λ≤

2+4x

2x

在x∈[0，1]恒成立．
令t=

2+4x

2x

=2^x+

2

2x

（0≤x≤1），
由于2^x∈[1，2]，
則2^x+

2

2x

≥2

2x• 2 2x

=2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)2^x=

2

，即有x=

1

2

時，取得最小值2

2

．
即有λ≤2

2

．
則實數(shù)λ的取值范圍是（-∞，2

2

]．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用，考查函數(shù)恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，以及基本不等式的運用，屬于中檔題．