Question

已知f（x）=，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x＞3時(shí)，f（x）=f（3）是常數(shù)，不是單調(diào)函數(shù)；
當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f（x）=，求導(dǎo)，得f′（x）=-，
由f′（x）＞0得，0＜x＜，
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，），f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（，3）．
（2）由（1）知，f（0）=3，f（x）最大值=f（）=，f（3）=，
方程f（x）=0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
等價(jià)于直線(xiàn)y=a與曲線(xiàn)y=f（x）恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴a=或＜a＜3．
分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，求出f'（x）=0的兩個(gè)根，然后比較大小，確定a的范圍，最后根據(jù)f'（x）＞0的解集為增區(qū)間，f'（x）＜0的解集為減區(qū)間；
（2）先把關(guān)于x的方程f（x）-a=0只有一個(gè)解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=a的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，再利用函數(shù)y=f（x）的最大值，看函數(shù)y=a的圖象滿(mǎn)足什么條件時(shí)符合要求即可求出對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本試題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)與方程的思想，解決關(guān)于方程有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸能力．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，是我們對(duì)于超越函數(shù)的一般的研究方法，考查了同學(xué)們的基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能和思維能力的綜合性．