Question

已知：動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A（1，0）距離比它到y(tǒng)軸的距離多1
（1）假設(shè)M不在y軸的左側(cè)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)AM的中點(diǎn)為N，求點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義，可得M點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)A為焦點(diǎn)、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，求出焦參數(shù)p的值，即可得到點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（x，y），相應(yīng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出m=2x-1，n=2y，得M（2x-1，2y），再將其代入拋物線y²=4x，化簡(jiǎn)即得點(diǎn)N的軌跡方程．

解答：解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A（1，0）距離比它到y(tǒng)軸的距離多1
∴動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A的距離等于M到直線x=-1距離，
又∵M(jìn)不在y軸的左側(cè)，
∴M點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)A為焦點(diǎn)、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線…（3分）
設(shè)拋物線方程為y²=2px，可得

p

2

=1，從而2p=4…（4分）
∴拋物線方程為y²=4x，即為點(diǎn)M的軌跡方程．…（6分）
（2）點(diǎn)N（x，y）為軌跡上任意一點(diǎn)，相應(yīng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n）
又∵A坐標(biāo)為（1，0）
∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得m=2x-1，n=2y．得到M（2x-1，2y），…（9分）
將M的坐標(biāo)代入拋物線y²=4x，化簡(jiǎn)得y²=2x-1，即為點(diǎn)N的軌跡方程．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．