Question

已知a，b為實數(shù)，并且e＜a＜b，其中e是自然對數(shù)的底，證明a^b＞b^a．

Answer 1

【答案】分析：先對a^b＞b^a兩邊取對數(shù)整理成，令y=，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=的單調(diào)性問題．
解答：證：當(dāng)e＜a＜b時，要證a^b＞b^a，只要證blna＞alnb，
即只要證
考慮函數(shù)
因為但x＞e時，，
所以函數(shù)內(nèi)是減函數(shù)
因為e＜a＜b，所以，即得a^b＞b^a
點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明．函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明可與導(dǎo)數(shù)的正負情況聯(lián)系起來，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．