Question

設(shè)圓C：x²+（y-2）²=2，點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，MA，MB分別切圓C于A，B兩點(diǎn)．
（1）證明直線AB過定點(diǎn)；
（2）如果AB=2，求直線MC的方程；
（3）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0），試問在線段CM（不包括端點(diǎn)）上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得圓C上的任意點(diǎn)P，都有

PM

PN

的值為定值？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)與

PM

PN

的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，可得切線方程，代入M的坐標(biāo)，可得直線AB的方程，即可證明直線AB過定點(diǎn)；
（2）由AB=2，可得圓心 C（0，2）到AB的距離d=1，即可求出M的坐標(biāo)，從而可求直線MC的方程；
（3）線段CM的方程為x+2y-4=0，設(shè)P（x，y），N（4-2b，b）（0＜b＜2），則由（

PM

PN

）²=

(x-4)2+y2

(x-4+2b)2+(y-b)2

=

1

λ

，可知分子中y的一次項(xiàng)為0，則分母中y的一次項(xiàng)為0，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：設(shè) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）
則MA：x₁x+（y₁-2）（y-2）=2，MB：x₂x+（y₂-2）（y-2）=2
M坐標(biāo)代入得 x₁m-2（y₁-2）=2，x₂m-2（y₂-2）=2，
所以A、B都滿足方程 mx-（y-2）=2
故直線AB的方程為mx-2（y-2）=2，
所以直線AB過定點(diǎn) （0，1）；
（2）解：因?yàn)锳B=2，圓C：x²+（y-2）²=2的半徑

2

所以圓心 C（0，2）到AB的距離d=1，
由點(diǎn)到直線的距離公式

2

m2+4

=1，
解得m=0，
所以M（0，0），
所以MC的方程：x=0；
（3）解：線段CM的方程為x+2y-4=0，設(shè)P（x，y），N（4-2b，b）（0＜b＜2），則
由（

PM

PN

）²=

(x-4)2+y2

(x-4+2b)2+(y-b)2

=

1

λ

，可知分子中y的一次項(xiàng)為0，則分母中y的一次項(xiàng)為0，
∴b=0
∵0＜b＜2，
∴在線段CM（不包括端點(diǎn)）上不存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得圓C上的任意點(diǎn)P，都有

PM

PN

的值為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查定值問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．