Question

12．己知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）
（1）若函數(shù)f（x）的最小值是f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，且f（0）=0，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥0}\\{-f（x-1），x＜0}\end{array}\right.$，判斷并證明函數(shù)g（x）的奇偶性；
（2）在（1）條件下，求f（x）在區(qū)間[-1，m]（m＞-1）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)的最值可得c=0，-$\frac{2a}$=-$\frac{1}{2}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=-$\frac{1}{4}$，解方程可得a=b=1，c=0，求得g（x）的解析式，運(yùn)用奇偶性的定義，即可判斷；
（2）求得f（x）的對(duì)稱軸，討論區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性即可得到最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的最小值是f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，且f（0）=0，
即有c=0，-$\frac{2a}$=-$\frac{1}{2}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=-$\frac{1}{4}$，
解得a=b=1，c=0，可得f（x）=x²+x，
g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，x≥0}\\{x-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，g（x）為奇函數(shù)．
理由：當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，g（-x）=-x-（-x）²=-（x+x²）=-g（x），
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，g（-x）=-x+（-x）²=-（x-x²）=-g（x），
綜上可得g（-x）=-g（x），即有g(shù)（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）=x²+x=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，對(duì)稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)-1＜m≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[-1，m]遞減，f（m）取得最小值，且為m²+m；
當(dāng)m＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[-1，-$\frac{1}{2}$]遞減，在[-$\frac{1}{2}$，m]遞增，
即有x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，取得最小值，且為-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法和分段函數(shù)的奇偶性的判斷，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，注意分類討論的思想方法，屬于中檔題．