Question

（2013•德州二模）已知函數(shù)f（x）=

ex+x-1(x＜0) - 1 3 x3+2x(x≥0)

，給出如下四個(gè)命題：
①f（x）在[

2

，+∞）上是減函數(shù)；
②f（x）的最大值是2；
③函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
④f（x）≤

4 2

3

在R上恒成立；
其中正確的命題有

①③④

．（把正確的命題序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)分別分段函數(shù)每一段上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，以及函數(shù)的零點(diǎn)，即可得到正確選項(xiàng)．

解答：解：當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）=e^x+1＞0故函數(shù)在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）=2-x²，故函數(shù)在（0，

2

）上單調(diào)遞增，在[

2

，+∞）上是減函數(shù)；
∴當(dāng)x=

2

時(shí)函數(shù)f（x）的最大值是f（

2

）=

4 2

3

則f（x）≤

4 2

3

在R上恒成立；
函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)分別為0，

6

故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性和最值以及零點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)考查了恒成立，屬于中檔題．