Question

已知圓A：（x+1）²+y²=8，點(diǎn)B（1，0），D為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)BD上一點(diǎn)E作一條直線交AD于點(diǎn)S，且S點(diǎn)滿足，，
（1）求點(diǎn)S的軌跡方程；
（2）若直線l的方程為：x=2，過(guò)B的直線與點(diǎn)S的軌跡相交于F、G兩點(diǎn)，點(diǎn)P在l上，且PG∥x軸，求證：直線FP經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知E為BD的中點(diǎn)，，SD=SB，所以，由此能夠推導(dǎo)出S的軌跡方程．
（2）當(dāng)FG⊥x軸時(shí)，由，，知，直線AP過(guò)定；當(dāng)FG與x軸不垂直時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P（2，y₂），設(shè)直線FG方程為y=k（x-1）．然后分k=0和k≠0兩種情況分別討論．
解答：解：（1）∵
∴E為BD的中點(diǎn)（1分）
∵
∴（2分）
∴SD=SB，
∴
∴S的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓（4分）
這里：∴b²=a²-c²=1
∴S的軌跡方程為：（5分）
（2）①當(dāng)FG⊥x軸時(shí)，，∴
∴直線AP：
∴AP過(guò)定點(diǎn)（7分）
②當(dāng)FG與x軸不垂直時(shí)
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P（2，y₂），設(shè)直線FG方程為y=k（x-1）
當(dāng)k=0時(shí)直線FG顯然過(guò)（8分）
當(dāng)k≠0時(shí)，，（9分）
∴==（11分）
由得（1+2k²）y²+2ky-k²=0
∴，（12分）
∴（13分）
∴∥
∴此時(shí)直線FG也過(guò)
∴直線FG必過(guò)定點(diǎn)．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論方法的合理運(yùn)用．