Question

已知函數(shù)f（x）=-3x²+6x，直線l₁：x=t，l₂：x=t+1（其中0≤t≤2，t為常數(shù)），若直線l₁，l₂，x軸與曲線y=f（x）所圍成的封閉圖形的面積為S（t）．
（1）求S（t）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)t變化時，求S（t）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）利用定積分，可求直線l₁，l₂，x軸與曲線y=f（x）所圍成的封閉圖形的面積S（t）的表達(dá)式；
（2）利用配方法，可求S（t）的最大值．

解答： 解：（1）S（t）=

∫

t+1 t

（-3x²+6x）dx=（-x³+3x²）

|

t+1 t

=-3t²+3t+2（0≤t≤2，t為常數(shù)）；
（2）S（t）=-3（t-

1

2

）²+

5

4

，
∵0≤t≤2，
∴t=

1

2

時，S（t）的最大值為

5

4

．

點(diǎn)評：本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用，考查配方法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．