Question

（2013•德州二模）已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為

1

2

，其中一個頂點是拋物線x²=-4

3

y的焦點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）是否存在過點P（2，1）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B滿足

PA

•

PB

=

5

4

，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明埋由．

Answer 1

分析：（I）設出橢圓方程，利用橢圓C的離心率為

1

2

，其中一個頂點是拋物線x²=-4

3

y的焦點，求出幾何量，即可得出橢圓的標準方程；
（II）設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合向量知識，即可求得結論．

解答：解：（I）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵橢圓C的離心率為

1

2

，其中一個頂點是拋物線x²=-4

3

y的焦點，
∴b=

3

，

c

a

=

1

2

∵c²=a²-b²
∴a=2，c=1，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）若存在過點P（2，1）的直線l滿足條件，則l的斜率存在
設方程為y=k（x-2）+1，代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由△=32（6k+3）＞0，可得k＞-

1

2

且x₁+x₂=

8k(2k-1)

3+4k2

，x₁x₂=

16k2-16k-8

3+4k2

∵

PA

•

PB

=

5

4

∴(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=

5

4

∴[x₁x₂-4（x₁+x₂）+4]（1+k²）=

5

4

∴[

16k2-16k-8

3+4k2

-4•

8k(2k-1)

3+4k2

+4]（1+k²）=

5

4

∴

4k2+4

3+4k2

=

5

4

∵k＞-

1

2

，∴k=

1

2

∴存在過點P（2，1）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B滿足

PA

•

PB

=

5

4

，其方程為y=

1

2

x．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．