Question

（Ⅰ）若a是從1，2，3，4四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求點(diǎn)P（a，b）在橢圓

x2

16

+

y2

9

=1內(nèi)的概率．
（Ⅱ）若a是從區(qū)間（0，3]任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，b是從區(qū)間（0，3]任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，求直線y=x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共點(diǎn)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）寫(xiě)出所有的點(diǎn)P（a，b），找出在橢圓

x2

16

+

y2

9

=1內(nèi)的點(diǎn)P（a，b），利用個(gè)數(shù)比求概率；
（II）本題是幾何概型求概率，根據(jù)a是從區(qū)間（0，3]任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，b是從區(qū)間（0，3]任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，則點(diǎn)P（a，b）的區(qū)域?yàn)檎�方形；滿(mǎn)足直線y=x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共點(diǎn)的點(diǎn)P（a，b）的區(qū)域B為正方形減去

1

4

圓，利用面積比求概率．

解答： 解：（Ⅰ）點(diǎn)P（a，b）的全部基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3）共12個(gè)，
設(shè)事件A“點(diǎn)P（a，b）在橢圓

x2

16

+

y2

9

=1內(nèi)”的基本事件有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，1）共5個(gè)，
點(diǎn)P（a，b）在橢圓

x2

16

+

y2

9

=1內(nèi)的概率為P（A）=

5

12

；
（Ⅱ）實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?span id="qilwf19" class="MathJye">Ω={(a，b)|

0＜a≤3 0＜b≤3

}如圖正方形，
設(shè)事件B“直線y=x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共點(diǎn)”
則

y=x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

⇒(b2+a2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0
由△=4a⁴-4a²（b²+a²）（1-b²）≥0⇒a²+b²≥1
構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锽={（a，b）|a²+b²≥1，（a，b）∈Ω}如圖陰影部分，
區(qū)域B的面積為9-

π

4

，
所以直線y=x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共點(diǎn)的概率為
P（B）=

S區(qū)域B

S正方形

=

9- π 4

9

=1-

π

36

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了古典概型的概率計(jì)算，考查了幾何概型的概率計(jì)算，解題的關(guān)鍵是求得符合條件的區(qū)域B的面積．