Question

（本題滿(mǎn)分14分）
如圖，已知平面QBC與直線(xiàn)PA均垂直于所在平面，且PA=AB=AC．

（Ⅰ）求證：PA∥平面QBC；
（Ⅱ）若，求二面角Q-PB-A的余弦值。

Answer 1

(1)通過(guò)已知中的平面⊥平面，那么結(jié)合平面，和⊥平面，從而得到線(xiàn)線(xiàn)平行∥，利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)來(lái)證明。
(2)

試題分析：解：（I）證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵平面⊥平面  ∴平面
又∵⊥平面
∴∥ 又∵平面
∴∥平面……6分
（Ⅱ）∵平面
∴ 又∵
∴  ∴
∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，則
∴平面  ∴∥，
∴四邊形是矩形  ……8分
設(shè)
∴，  ∴
過(guò)作于點(diǎn)，
∴，
取中點(diǎn)，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)
∵， ∴∥
∵  ∴   ∴
∴為二面角的平面角……12分
連結(jié)，則 又∵
∴
即二面角的余弦值為……14分
方法二:
（I）同方法一   ……………………………………6分
（Ⅱ）∵平面
∴，又∵
∴  ∴
∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，則
∴平面  ∴∥，
∴四邊形是矩形  ……………………8分

分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)，則，，，
設(shè)平面的法向量為
∵，
∴
又∵平面的法向量為 ……12分
設(shè)二面角為，則

又∵二面角是鈍角
∴ ………………………………14分
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用線(xiàn)面平行的判定定理分析得到第一問(wèn)，這是一般的解題思路，同時(shí)對(duì)于二面角的求解可以先作，后證明，再解，也可以建立直角坐標(biāo)系，進(jìn)而結(jié)合向量的知識(shí)來(lái)分析得到結(jié)論，屬于中檔題。