Question

12．已知函數(shù)f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-2cosx．
（1）當(dāng)x∈[$\frac{π}{2}$，π]時，若sinx=$\frac{4}{5}$，求函數(shù)f（x）的值；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{π}{2}$，π]時，求函數(shù)h（x）=3sin（$\frac{π}{6}$-x）-cos（2x-$\frac{π}{3}$）的值域；
（3）把函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸方向平移m個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，求|m|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意及同角三角函數(shù)關(guān)系式可求cosx的值，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式即可計算求值．
（2）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用及配方可得h（x）=2[sin（x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{3}{4}$]²-$\frac{17}{8}$，由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，可得x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，即可求得值域．
（3）由題意g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$+m）=2cos（$\frac{π}{2}-x+\frac{π}{6}+m$），根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解得$\frac{2π}{3}+m=kπ$，k∈Z，即可得解．

解答 解：（1）∵當(dāng)x∈[$\frac{π}{2}$，π]時，若sinx=$\frac{4}{5}$，可得cosx=-$\sqrt{1-si{n}^{2}x}$=-$\frac{3}{5}$，
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-2cosx=2（sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$）-2cosx=2（$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{1}{2}$）-2×（-$\frac{3}{5}$）=$\frac{4\sqrt{3}+3}{5}$．
（2）∵h(yuǎn)（x）=3sin（$\frac{π}{6}$-x）-cos（2x-$\frac{π}{3}$）
=3sin（$\frac{π}{6}$-x）-2cos²（x-$\frac{π}{6}$）+1
=-3sin（x-$\frac{π}{6}$）-2+2sin²（x-$\frac{π}{6}$）+1
=2sin²（x-$\frac{π}{6}$）-3sin（x-$\frac{π}{6}$）-1
=2[sin（x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{3}{4}$]²-$\frac{17}{8}$，
∵x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴h（x）∈[-$\frac{17}{8}$，-2]．
（3）∵g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$+m）=2cos（$\frac{π}{2}-x+\frac{π}{6}+m$），
∴$\frac{2π}{3}+m=kπ$，k∈Z，
∴解得|m|的最小值為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，用配方法求解析式h（x）是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．