Question

如圖，已知橢圓與的中心在坐標原點，長軸均為且在軸上，短軸長分別為，，過原點且不與軸重合的直線與，的四個交點按縱坐標從大到小依次為，，，。記，和的面積分別為和。

（I）當直線與軸重合時，若，求的值；

（II）當變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線，使得？并說明理由。

 

Answer 1

【解析】（Ⅰ）依題意可設橢圓和的方程分別為

：，：. 其中，

解法1：如圖1，若直線與軸重合，即直線的方程為，則

，，所以.

在C₁和C₂的方程中分別令，可得，，，

于是.

若，則，化簡得. 由，可解得.

故當直線與軸重合時，若，則.              

解法2：如圖1，若直線與軸重合，則

，；

，.

所以.

若，則，化簡得. 由，可解得.

故當直線與軸重合時，若，則.   

（Ⅱ）解法1：如圖2，若存在與坐標軸不重合的直線l，使得. 根據(jù)對稱性，

不妨設直線：，

點，到直線的距離分別為，，則

因為，，所以.

又，，所以，即.

由對稱性可知，所以，

，于是

.                                      ①

將的方程分別與C₁，C₂的方程聯(lián)立，可求得

，.

根據(jù)對稱性可知，，于是

.         ②         

從而由①和②式可得

.                              ③

令，則由，可得，于是由③可解得.

因為，所以. 于是③式關于有解，當且僅當，

等價于. 由，可解得，

即，由，解得，所以

當時，不存在與坐標軸不重合的直線l，使得；

當時，存在與坐標軸不重合的直線l使得.