Question

1．設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f（1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）-f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，1）．

Answer 1

分析 由已知當(dāng)x＞0時(shí)總有xf′（x）-f（x）＜0成立，可判斷函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$為減函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，模擬g（x）的圖象，而不等式f（x）＞0等價(jià)于x•g（x）＞0，數(shù)形結(jié)合解不等式組即可得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
則$g′（x）=\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
又∵g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}=\frac{-f（x）}{-x}=\frac{f（x）}{x}$=g（x），
∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)．
又∵g（1）=$\frac{f（1）}{1}$=0，
∴函數(shù)g（x）的圖象的大致形狀如圖：
不等式f（x）＞0?x•g（x）＞0，
由圖可知：$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{g（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{g（x）＜0}\end{array}\right.$，
解得：0＜x＜1或x＜-1，
∴f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，1），
故答案為：（-∞，-1）∪（0，1）．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$是解答該題的關(guān)鍵，屬中檔題．