Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，x＝(2a＋c，b)，y＝(cosB，cosC)，且x·y＝0.

(1)求B的大��；

(2)若b＝，求||的最小值．

Answer 1

【答案】(1) B＝π. (2) ||的最小值為1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝1時(shí)取“＝”.

【解析】

試題分析: （1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量的數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，再利用正弦定理化簡(jiǎn)后，利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)與都為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出 的值；
（2）由 與 的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，整理后利用基本不等式即可求出||的最小值

試題解析：( (1)x·y＝(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，由正弦定理得，

2sinAcosB＋sinCcosB＋sinBcosC＝0，

∴2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0，

∴sinA(2cosB＋1)＝0.

∵A，B∈(0，π)，∴sinA≠0，cosB＝－，

∴B＝π.

(2)由余弦定理知

∴|＋|2＝c2＋a2＋2accosπ＝c2＋a2－ac＝a2＋c2＋ac－2ac＝3－2ac≥3－2＝1.

∴|＋|的最小值為1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝1時(shí)取“＝”.