Question

（2012•紹興模擬）如圖，過(guò)拋物線x²=4y焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），點(diǎn)C（0，t）（t＞1）．
（I）若△CBF，△CFA，△CBA的面積成等差數(shù)列，求直線l的方程；
（II）若|AB|∈(

9

2

，

64

7

)，且∠FAC為銳角，試求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入x²=4y，得x²-4kx-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，由△CBF，△CFA，△CBA的面積成等差數(shù)列，得|FA|=2|BF|，由此能求出直線方程．
（Ⅱ）由拋物線x²=4y焦點(diǎn)F（0，1），知

AF

=(-x 1，1-y1 )，

AC

=(-x1，t-y1)，若∠FAC為銳角，則y12+(3-t)y1+t＞0，由|AB|∈（

9

2

，

64

7

），知|AB|=y₁+y₂+2=kx₁+1+kx₂+1=4k²+4，由此能夠推導(dǎo)出t的取值范圍．

解答：解：（I）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，
代入x²=4y，得x²-4kx-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，①
∵△CBF，△CFA，△CBA的面積成等差數(shù)列，
即|BF|，|FA|，|BA|成等差數(shù)列，
∴|BF|+|BA|=2|FA|，
得|FA|=2|BF|，
即x₁=-2x₂，代入①得x2=-

2

，k=

2

4

，
∴所求直線方程為y=

2

4

x+1，即

2

x-4y+4=0．
（Ⅱ）∵拋物線x²=4y焦點(diǎn)F（0，1），
∴

AF

=(-x 1，1-y1 )，

AC

=(-x1，t-y1)，
若∠FAC為銳角，則

AF

•

AC

=x12+(1-y1)(t-y1)＞0，
即y12+(3-t)y1+t＞0，
∵|AB|∈（

9

2

，

64

7

），
|AB|=y₁+y₂+2=kx₁+1+kx₂+1=k（x₁+x₂）+2=4k²+4，
且k2=(

y1-1

x1

)2=

(y1-1)2

4y1

，
從而|AB|=

(y1-1)2

y1

+4，
得y1∈( 

1

7

，

1

2

)∪(2，7)．
若y1∈(

1

7

，

1

2

)，當(dāng)t＞1時(shí)，∠FAC必為銳角；
若y₁∈（2，7），則g(y1)=y12+(3-t)y1+t＞0在（2，7）上恒成立．
由于g（y₁）的對(duì)稱軸為y1=-

3-t

2

，
故①當(dāng)-

3-t

2

＜2，即1＜t＜7時(shí)，g（2）=10-t＞0滿足題意；
②當(dāng)2≤-

3-t

2

≤7，即7≤t≤17時(shí)，△=（3-t）²-4t＜0，
即t²-10t+9＜0，解得1＜t＜9，∴7≤t＜9；
③當(dāng)-

3-t

2

＞7，即t＞17時(shí)，g（7）=70-6t＞0無(wú)解．
綜上所述，t的取值范圍是（1，9）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，求實(shí)數(shù)的取值范圍，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．