Question

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD
（1）求證：BF⊥DM
（2）求平面AMD⊥平面CDE．

Answer 1

解：（1）證明：設(shè)P為AD的中點，連接EP，PC，
所以由已知，EF AP BC
∴EP=PC，F(xiàn)A∥EP，EC∥BF，AB∥PC…（2分）
又∵FA⊥平面ABCD，
∴EP⊥平面ABCD
因為PC、AD?平面ABCD
所以EP⊥PC，EP⊥AD
設(shè)FA=a，則EP=PC=PD=a，
∴…（5分）
∵M為EC的中點，
∴DM⊥CE
∵BF∥EC
∴DM⊥BF．…（6分）
（2）證明：連接MP
∵PE=PC，M為EC的中點，∴MP⊥CE
又DM⊥CE，MP∩DM=M
故CE⊥平面AMD…（10分）
而CE?平面CDE．
∴平面AMD⊥平面CDE．…（12分）
分析：（1）設(shè)P為AD的中點，連接EP，PC，所以EF AP BC，所以FA∥EP，可得EP⊥平面ABCD，所以EP⊥PC，EP⊥AD，再結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可得：ED=CD，進而得到：DM⊥CE，又BF∥EC，所以DM⊥BF．
（2）欲證平面AMD⊥平面CDE，即證CE⊥平面AMD，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證CE與平面AMD內(nèi)兩相交直線垂直即可，易證DM⊥CE，MP⊥CE．
點評：本小題要考查線面垂直、平面與平面垂直等基礎(chǔ)知識，考查空間想像能力和推理論證能力．