Question

10．已知f（x）=3+log₂x的定義為[1，4]，則函數(shù)y=f²（x）+f（x²）的值域是（　　）

• A． [-4，32]
• B． [12，21]
• C． [21，32]
• D． [12，32]

Answer 1

分析 根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系求出函數(shù)的定義域，利用換元法結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=3+log₂x的定義為[1，4]，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤{x}^{2}≤4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤x≤2或-2≤x≤-1}\end{array}\right.$即1≤x≤2，
即函數(shù)y=f²（x）+f（x²）的定義域?yàn)閇1，2]，
則y=f²（x）+f（x²）=（3+log₂x）²+3+log₂x²=）=（3+log₂x）²+3+2log₂x=（log₂x）²+8log₂x+12，
令t=log₂x，
∵1≤x≤2，
∴0≤t≤1，
則函數(shù)等價(jià)為y=t²+8t+12=（t+4）²-4，
則函數(shù)在0≤t≤1為增函數(shù)，
則當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)取得最小值為y=12，
當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取得最大值為y=21，
故函數(shù)的值域?yàn)閇12，21]，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用換元法結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．