Question

18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．a(chǎn)=8，b-c=2，cosA=-$\frac{1}{4}$
（Ⅰ）求△ABC的面積S_△ABC和sinB
（Ⅱ）$cos（2A-\frac{π}{6}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$cosA=-\frac{1}{4}$，可得sinA的值，由余弦定理及已知即可解得b，c的值，利用三角形面積公式即可求得S_△ABC，由正弦定理即可得解sinB的值．
（Ⅱ）由倍角公式及（Ⅰ）可求cos2A，sin2A的值，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值．

解答 解：（Ⅰ）∵由$cosA=-\frac{1}{4}$，可得$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，…（1分）
∴由$\left\{{\begin{array}{l}{64={b^2}+{c^2}-2bccosA}\\{b-c=2}\end{array}}\right.$，可得：$\left\{{\begin{array}{l}{b=6}\\{c=4}\end{array}}\right.$，…（3分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=3\sqrt{15}$…（5分）
∴由$\frac{sinB}=\frac{a}{sinA}$得$sinB=\frac{{3\sqrt{15}}}{16}$…（7分）
（Ⅱ）∵$cos2A=2{cos^2}A-1=-\frac{7}{8}，sin2A=2sinAcosA=-\frac{{\sqrt{15}}}{8}$，…（11分）
∴$cos（2A-\frac{π}{6}）$=$cos2Acos\frac{π}{6}+sin2Asin\frac{π}{6}$=$-\frac{{7\sqrt{3}+\sqrt{15}}}{16}$．…（13分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，熟練掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)公式定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．