Question

已知a=2

∫

π 0

cos（x+

π

6

）dx，則二項(xiàng)式（x²+

a

x

）⁵的展開式中x的系數(shù)為

-80

．

Answer 1

分析：根據(jù)定積分的運(yùn)算法則求出a的值，再根據(jù)二項(xiàng)式定理的公式，求出一次項(xiàng)的系數(shù)；

解答：解：∵a=2

∫

π 0

cos（x+

π

6

）dx=2sin（x+

π

6

）

|

π 0

=2sin（π+

π

6

）-2sin

π

6

=-2，
∴二項(xiàng)式（x²+

a

x

）⁵=（x²-

2

x

）⁵，
∴T_r+1=

C

r 5

(x2)5-r(-2)rx-r=

C

r 5

(-2)rx10-3r，
令10-3r=1，可得r=3，
∴二項(xiàng)式（x²+

a

x

）⁵的展開式中x的系數(shù)

C

3 5

(-2)3=-80；
故答案為：-80；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查定積分的運(yùn)算法則和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，是一道綜合題，比較簡單；