設a為實數(shù)，f(x)=
33x+1
+a
（1）證明：f（x）為R上的減函數(shù)．
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調性的定義即可證明：f（x）為R上的減函數(shù)．
（2）利用f（x）為奇函數(shù)，建立方程即可求a的值．
解答：解：（1）設x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=
3
3x1+1
-
3
3x2+1
=
3(3x2+1)-3(3x1+1)
(3x1+1)(3x2+1)
=
3(3x2-3x1)
(3x1+1)(3x2+1)

∵x1＜x2，
∴3x2-3x1＞0，
3(3x2-3x1＞0)
(3x1+1)(3x2+1)＞0
，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）為R上的減函數(shù)．
（2）∵函數(shù)f（x）的定義域為R，
∴若f（x）為奇函數(shù)，
則f（0）=0，
即f(0)=
3
30+1
+a=
3
2
+a=0，
解得a=-
3
2
．
點評：本題主要考查函數(shù)單調性的判斷以及函數(shù)奇偶性的應用，利用定義法是解決此類問題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a為實數(shù)，f(x)=(x2+
32
)(x+a)
1）若y=f（x）有平行于x軸的切線，求實數(shù)a的取值范圍
2）若f′（-1）=0，①求y=f（x）的單調區(qū)間；②任意實數(shù)x1，x2∈[-1，0]，不等式：|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，求實數(shù)m的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a是實數(shù)，f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)
（1）已知函數(shù)f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)是奇函數(shù)，求實數(shù)a的值．
（2）試證明：對于任意實數(shù)a，f（x）在R上為增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：黃岡重點作業(yè)·高三數(shù)學（下） 題型：044

設a為實數(shù)，f(x)＝a－(x∈R)．

(1)證明對于任意的實數(shù)a，f(x)在R上是增函數(shù)；

(2)試確定a的值，使f(x)為奇函數(shù)；

(3)當f(x)是奇函數(shù)時，對于給定的正實數(shù)k，解不等式：f-1(x)＞log2．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年遼寧沈陽實驗中學北校高三12月月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

設a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a-3)x的導函數(shù)為,且是偶函數(shù), 則曲線:y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為               .  

 

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