Question

某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長(zhǎng)方形公園ABCD，公園由長(zhǎng)方形的休閑區(qū)A₁B₁C₁D₁和環(huán)公園人行道（陰影部分）組成．已知休閑區(qū)A₁B₁C₁D₁的面積為4000平方米，人行道的寬分別為4米和10米（如圖）
（Ⅰ）若設(shè)休閑區(qū)的長(zhǎng)和寬的比

A1B1

B1C1

=x，求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S（x）的解析式；
（Ⅱ）要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A₁B₁C₁D₁的長(zhǎng)和寬該如何設(shè)計(jì)？

Answer 1

分析：（I）設(shè)休閑區(qū)的寬為a米，則其長(zhǎng)為ax米，根據(jù)休閑區(qū)A₁B₁C₁D₁的面積為4000平方米，將a用x表示，然后根據(jù)矩形的面積公式求出公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)即可；
（II）利用均值不等式求出最小值，注意等號(hào)成立的條件，從而求出長(zhǎng)和寬．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)休閑區(qū)的寬為a米，則其長(zhǎng)為ax米，
∴a2x=4000?a=

20 10

x

，
∴S=（a+8）（ax+20）=a²x+（8x+20）a+160

=4000+(8x+20)• 20 10 x +160 =80 10 (2 x + 5 x )+4160，x∈(1，+∞)

（Ⅱ）S≥1600+4160=5760，
當(dāng)且僅當(dāng)2

x

=

5

x

?x=2.5時(shí)，公園所占面積最小，此時(shí)，a=40，ax=100，
即休閑區(qū)A₁B₁C₁D₁的長(zhǎng)為100米，寬為40米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及利用均值不等式求最值，屬于中檔題．