已知橢圓：，過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于A，B兩點(diǎn)。
（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（2）求的取值范圍；
（3）將表示為的函數(shù)，并求的最大值．

（1）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為；（2）；（3）．當(dāng)時，，所以的最大值為2．

解析試題分析：（1）由已知及，，關(guān)系可得的值，從而得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．由離心率計(jì)算公式可求得橢圓的離心率；（2）過點(diǎn)能作圓的切線，則此點(diǎn)在圓上或圓外，由此可得的取值范圍；（3）先考慮過點(diǎn)所作的圓的切線斜率不存在的情形，即先求和時的長；再考慮時的情形．設(shè)切線的方程為，代入橢圓方程消去得關(guān)于的一元二次方程：，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，利用韋達(dá)定理可得及的值，代入弦長公式，可得弦長的表達(dá)式，利用圓的切線性質(zhì)消去，得弦長關(guān)于的函數(shù)，最后利用均值不等式可求得的最大值．
試題解析：（1）由已知可得．所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為；                                 4分
（2）由題意知，，即；                    6分
（3）當(dāng)時，切線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時．
當(dāng)時，同理可得                            8分
當(dāng)時，設(shè)切線的方程為，由；
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則；    10分
又由與圓                 11分
．
．，且當(dāng)時，，所以的最大值為2．                                      15分
考點(diǎn)：1．求橢圓離心率；2．圓的切線；．3．直線和橢圓的相交弦長的計(jì)算；4．均值不等式的應(yīng)用．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線過點(diǎn).
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若拋物線與直線交于、兩點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，求直線的方程；
(Ⅲ) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動時，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在周長為定值的DDEC中,已知,動點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡為曲線G,且當(dāng)動點(diǎn)C運(yùn)動時,有最小值．
（1）以DE所在直線為x軸,線段DE的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,求曲線G的方程;
（2）直線l分別切橢圓G與圓(其中)于A、B兩點(diǎn),求|AB|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在軸上方有一段曲線弧，其端點(diǎn)、在軸上（但不屬于），對上任一點(diǎn)及點(diǎn)，，滿足：．直線，分別交直線于，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求曲線弧的方程；
（Ⅱ）求的最小值（用表示）；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線在第一象限的交點(diǎn)，且．
（1）求雙曲線的方程；
（2）以雙曲線的另一焦點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，圓.過點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為，問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A，B.
（I）如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求的值；
（II）如果，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知△ABC的兩個頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（－5，0），（5，0），且AC，BC所在直
線的斜率之積等于m（m≠0），求頂點(diǎn)C的軌跡．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)是拋物線上相異兩點(diǎn)，到y(tǒng)軸的距離的積為且．

（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）過Q的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為R，與軸交點(diǎn)為T，且Q為線段RT的中點(diǎn)，試求弦PR長度的最小值．

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同步練習(xí)冊答案